Рекурсивный алгоритм паскаль егэ как решать. Рекурсия и рекурсивные алгоритмы. Имитация работы цикла с помощью рекурсии

Презентация на тему "Рекурсивные алгоритмы" создана для подготовки обучающихся к ЕГЭ по информатике и ИКТ. В работе рассмотрено определение рекурсии, приведены примеры рекурсивно-определенных графических объектов. Презентация содержит способы решения задания № 11 из проекта демо-версии ЕГЭ - 2015 по информатике. Первый способ предполагает построение дерева вызовов, второй способ решает задачу методом подстановки. Рассмотрено 4 примера решения заданий с применением обоих способов. Далее презентация содержит 25 заданий для тренировки с ответами с сайта Константина Полякова.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Задание № 11 ЕГЭ (базовый уровень, время – 5 мин) Рекурсивные алгоритмы. Автор – Коротун О.В., учитель информатики МОУ «СОШ № 71»

Что нужно знать: Реку́рсия - в определении, описании, изображении какого-либо объекта или процесса внутри самого этого объекта или процесса, то есть ситуация, когда объект является частью самого себя. Герб Российской Федерации является рекурсивно-определённым графическим объектом: в правой лапе изображённого на нём двуглавого орла зажат скипетр, который венчается уменьшенной копией герба. Так как на этом гербе в правой лапе орла также находится скипетр, получается бесконечная рекурсия. Рекурсивный герб России

В программировании рекурсия - вызов функции из неё же самой, непосредственно или через другие функции, например, функция A вызывает функцию B, а функция B - функцию A. Количество вложенных вызовов функции или процедуры называется глубиной рекурсии. пример рекурсии: Если у вас жирное пятно на платье,не переживайте. Пятна от масла убираются бензином.Пятно от бензина раствором щёлочи.Щелочь убирается эссенцией.След от эссенции потрите маслом.Hу,а как убрать пятна от масла,вы уже знаете!

Пример задания: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F(n: integer); begin writeln (n); if n

Пример задания: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F(n: integer); begin writeln (n) ; if n

Пример задания: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F(n: integer); begin writeln (n); if n Слайд 9

Пример задания: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F(n: integer); begin writeln (n); if n Слайд 10

Пример задания: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F(n: integer); begin writeln (n); if n Слайд 11

15 Пример № 2: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F(n: integer); begin writeln (n); if n

Пример № 2: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F(n: integer); begin writeln (n); if n Слайд 13

Пример № 3: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F(n: integer); begin writeln ("*") ; if n > 0 then begin F(n-2); F(n div 2) end end ; Сколько символов "звездочка" будет напечатано на экране при выполнении вызова F(7)? 7 5 3 2 3 1 1 1 1 В этом примере на экран выводятся не значения параметра n , а символ * -2 div 2 1 0 -1 0 -1 0 -1 -1 -1 0 0 0

Пример № 3: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F(n: integer); begin writeln ("*"); if n > 0 then begin F(n-2); F(n div 2) end end ; Сколько символов "звездочка" будет напечатано на экране при выполнении вызова F(7)? * Подсчитав количество «звездочек», получаем 21 В этом примере на экран выводятся не значения параметра n , а символ * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

Пример № 3: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F(n: integer); begin writeln ("*"); if n > 0 then begin F(n-2); F(n div 2) end end ; Сколько символов "звездочка" будет напечатано на экране при выполнении вызова F(7)? Решим задачу без дерева. Пусть S(n) – это количество «звездочек», которые будут выведены при вызове F(n). Тогда 1+S(n-2)+ S(n div 2), n>0 1 , n Нам нужно узнать S(7). S(7)= 1 +S(5)+ S(3) S(5)= 1 +S(3)+S(2) S(3)= 1 +S(1)+S(1) S(2)=1+S(0)+S(1)=1+1+S(1)=2+S(1) S(1)= 1+ S(-1)+S(0)=1+1+1=3 Делаем обратный ход: S(2)=2+3=5 S(3)=1+3+3=7 S(5)=1+7+5=13 S(7)=1+13+7= 21 S (n)=

Пример № 4: procedure F(n: integer); begin if n Слайд 18

Пример № 4: procedure F(n: integer); begin if n Слайд 19

Пример № 4: procedure F(n: integer); begin if n

Задания для тренировки

Задача 1: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F(n: integer); begin writeln("*"); if n > 0 then begin F(n-2); F(n div 2); F(n div 2); end end ; Сколько символов "звездочка" будет напечатано на экране при выполнении вызова F(5)? Ответ: 34

Задача 2: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F(n: integer); begin writeln("*"); if n > 0 then begin F(n-2); F(n-2); F(n div 2); end end ; Сколько символов "звездочка" будет напечатано на экране при выполнении вызова F(6)? Ответ: 58

Задача 3: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F(n: integer); begin writeln("*"); if n > 0 then begin F(n-3); F(n div 2); end end ; Сколько символов "звездочка" будет напечатано на экране при выполнении вызова F(7)? Ответ: 15

Задача 4: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F(n: integer); begin writeln("*"); if n > 0 then begin F(n-3); F(n-2); F(n div 2); end end ; Сколько символов "звездочка" будет напечатано на экране при выполнении вызова F(7)? Ответ: 55

Задача 5: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F(n: integer); begin writeln("*"); if n > 0 then begin F(n-3); F(n-2); F(n div 2); F(n div 2); end end ; Сколько символов "звездочка" будет напечатано на экране при выполнении вызова F(6)? Ответ: 97

Задача 6: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F(n: integer); begin writeln("*"); if n > 0 then begin writeln("*"); F(n-2); F(n div 2); end end ; Сколько символов "звездочка" будет напечатано на экране при выполнении вызова F(7)? Ответ: 31

Задача 7: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F(n: integer); begin writeln("*"); if n > 0 then begin writeln("*"); F(n-2); F(n div 2); F(n div 2); end end; Сколько символов "звездочка" будет напечатано на экране при выполнении вызова F(7)? Ответ: 81

Задача 8: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F(n: integer); begin writeln("*"); if n > 0 then begin writeln("*"); F(n-2); F(n-2); F(n div 2); end end; Сколько символов "звездочка" будет напечатано на экране при выполнении вызова F(6)? Ответ: 77

Задача 9: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F(n: integer); begin if n > 0 then begin F(n-2); F(n-1); F(n-1); end; writeln("*"); end ; Сколько символов "звездочка" будет напечатано на экране при выполнении вызова F(5)? Ответ: 148

Задача 10: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F(n: integer); begin if n > 0 then begin writeln("*"); F(n-2); F(n-1); F(n-1); end; writeln("*"); end; Сколько символов "звездочка" будет напечатано на экране при выполнении вызова F(5)? Ответ: 197

Задача 11: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F(n: integer); begin if n > 1 then begin F(n-2); F(n-1); F(n div 2); end; writeln("*"); end ; Сколько символов "звездочка" будет напечатано на экране при выполнении вызова F(7)? Ответ: 88

Задача 12: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F(n: integer); begin if n > 2 then begin writeln("*"); F(n-2); F(n-1); F(n div 2); end ; writeln("*"); end; Сколько символов "звездочка" будет напечатано на экране при выполнении вызова F(6)? Ответ: 33

Задача 13: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F (n: integer); begin writeln(n); if n

Задача 14: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F (n: integer); begin writeln(n); if n

Задача 15: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F (n: integer); begin writeln(n); if n

Задача 16: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F (n: integer); begin writeln(n); if n

Задача 17: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F (n: integer); begin writeln(n); if n

Задача 18: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F (n: integer); begin writeln(n); if n

Задача 19: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F (n: integer); begin writeln(n); if n

Задача 20: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F (n: integer); begin writeln(n); if n

Задача 21: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F (n: integer); begin writeln(n); if n

Задача 22: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F (n: integer); begin writeln(n); if n

Задача 23: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F (n: integer); begin writeln(n); if n

Задача 24: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F (n: integer); begin writeln(n); if n

Задача 25: Дан рекурсивный алгоритм: procedure F (n: integer); begin writeln(n); if n

Рекурсией называется ситуация, когда подпрограмма вызывает сама себя. Впервые сталкиваясь с такой алгоритмической конструкцией, большинство людей испытывает определенные трудности, однако немного практики и рекурсия станет понятным и очень полезным инструментом в вашем программистском арсенале.

1. Сущность рекурсии

Процедура или функция может содержать вызов других процедур или функций. В том числе процедура может вызвать саму себя. Никакого парадокса здесь нет – компьютер лишь последовательно выполняет встретившиеся ему в программе команды и, если встречается вызов процедуры, просто начинает выполнять эту процедуру. Без разницы, какая процедура дала команду это делать.

Пример рекурсивной процедуры:

Procedure Rec(a: integer); begin if a>

Рассмотрим, что произойдет, если в основной программе поставить вызов, например, вида Rec(3). Ниже представлена блок-схема, показывающая последовательность выполнения операторов.

Рис. 1. Блок схема работы рекурсивной процедуры.

Процедура Rec вызывается с параметром a = 3. В ней содержится вызов процедуры Rec с параметром a = 2. Предыдущий вызов еще не завершился, поэтому можете представить себе, что создается еще одна процедура и до окончания ее работы первая свою работу не заканчивает. Процесс вызова заканчивается, когда параметр a = 0. В этот момент одновременно выполняются 4 экземпляра процедуры. Количество одновременно выполняемых процедур называют глубиной рекурсии .

Четвертая вызванная процедура (Rec(0)) напечатает число 0 и закончит свою работу. После этого управление возвращается к процедуре, которая ее вызвала (Rec(1)) и печатается число 1. И так далее пока не завершатся все процедуры. Результатом исходного вызова будет печать четырех чисел: 0, 1, 2, 3.

Еще один визуальный образ происходящего представлен на рис. 2.

Рис. 2. Выполнение процедуры Rec с параметром 3 состоит из выполнения процедуры Rec с параметром 2 и печати числа 3. В свою очередь выполнение процедуры Rec с параметром 2 состоит из выполнения процедуры Rec с параметром 1 и печати числа 2. И т. д.

В качестве самостоятельного упражнения подумайте, что получится при вызове Rec(4). Также подумайте, что получится при вызове описанной ниже процедуры Rec2(4), где операторы поменялись местами.

Procedure Rec2(a: integer); begin writeln(a); if a>0 then Rec2(a-1); end;

Обратите внимание, что в приведенных примерах рекурсивный вызов стоит внутри условного оператора. Это необходимое условие для того, чтобы рекурсия когда-нибудь закончилась. Также обратите внимание, что сама себя процедура вызывает с другим параметром, не таким, с каким была вызвана она сама. Если в процедуре не используются глобальные переменные, то это также необходимо, чтобы рекурсия не продолжалась до бесконечности.

Возможна чуть более сложная схема: функция A вызывает функцию B, а та в свою очередь вызывает A. Это называется сложной рекурсией . При этом оказывается, что описываемая первой процедура должна вызывать еще не описанную. Чтобы это было возможно, требуется использовать .

Procedure A(n: integer); {Опережающее описание (заголовок) первой процедуры} procedure B(n: integer); {Опережающее описание второй процедуры} procedure A(n: integer); {Полное описание процедуры A} begin writeln(n); B(n-1); end; procedure B(n: integer); {Полное описание процедуры B} begin writeln(n); if n

Опережающее описание процедуры B позволяет вызывать ее из процедуры A. Опережающее описание процедуры A в данном примере не требуется и добавлено из эстетических соображений.

Если обычную рекурсию можно уподобить уроборосу (рис. 3), то образ сложной рекурсии можно почерпнуть из известного детского стихотворения, где «Волки с перепуга, скушали друг друга». Представьте себе двух съевших друг друга волков, и вы поймете сложную рекурсию.

Рис. 3. Уроборос – змей, пожирающий свой хвост. Рисунок из алхимического трактата «Synosius» Теодора Пелеканоса (1478г).

Рис. 4. Сложная рекурсия.

3. Имитация работы цикла с помощью рекурсии

Если процедура вызывает сама себя, то, по сути, это приводит к повторному выполнению содержащихся в ней инструкций, что аналогично работе цикла. Некоторые языки программирования не содержат циклических конструкций вовсе, предоставляя программистам организовывать повторения с помощью рекурсии (например, Пролог, где рекурсия - основной прием программирования).

Для примера сымитируем работу цикла for. Для этого нам потребуется переменная счетчик шагов, которую можно реализовать, например, как параметр процедуры.

Пример 1.

Procedure LoopImitation(i, n: integer); {Первый параметр – счетчик шагов, второй параметр – общее количество шагов} begin writeln("Hello N ", i); //Здесь любые инструкции, которые будут повторятся if i

Результатом вызова вида LoopImitation(1, 10) станет десятикратное выполнение инструкций с изменением счетчика от 1 до 10. В данном случае будет напечатано:

Hello N 1
Hello N 2
…
Hello N 10

Вообще, не трудно видеть, что параметры процедуры это пределы изменения значений счетчика.

Можно поменять местами рекурсивный вызов и подлежащие повторению инструкции, как в следующем примере.

Пример 2.

Procedure LoopImitation2(i, n: integer); begin if i

В этом случае, прежде чем начнут выполняться инструкции, произойдет рекурсивный вызов процедуры. Новый экземпляр процедуры также, прежде всего, вызовет еще один экземпляр и так далее, пока не дойдем до максимального значения счетчика. Только после этого последняя из вызванных процедур выполнит свои инструкции, затем выполнит свои инструкции предпоследняя и т.д. Результатом вызова LoopImitation2(1, 10) будет печать приветствий в обратном порядке:

Hello N 10
…
Hello N 1

Если представить себе цепочку из рекурсивно вызванных процедур, то в примере 1 мы проходим ее от раньше вызванных процедур к более поздним. В примере 2 наоборот от более поздних к ранним.

Наконец, рекурсивный вызов можно расположить между двумя блоками инструкций. Например:

Procedure LoopImitation3(i, n: integer); begin writeln("Hello N ", i); {Здесь может располагаться первый блок инструкций} if i

Здесь сначала последовательно выполнятся инструкции из первого блока затем в обратном порядке инструкции второго блока. При вызове LoopImitation3(1, 10) получим:

Hello N 1
…
Hello N 10
Hello N 10
…
Hello N 1

Потребуется сразу два цикла, чтобы сделать то же самое без рекурсии.

Тем, что выполнение частей одной и той же процедуры разнесено по времени можно воспользоваться. Например:

Пример 3: Перевод числа в двоичную систему.

Получение цифр двоичного числа, как известно, происходит с помощью деления с остатком на основание системы счисления 2. Если есть число , то его последняя цифра в его двоичном представлении равна

Взяв же целую часть от деления на 2:

получим число, имеющее то же двоичное представление, но без последней цифры. Таким образом, достаточно повторять приведенные две операции пока поле очередного деления не получим целую часть равную 0. Без рекурсии это будет выглядеть так:

While x>0 do begin c:=x mod 2; x:=x div 2; write(c); end;

Проблема здесь в том, что цифры двоичного представления вычисляются в обратном порядке (сначала последние). Чтобы напечатать число в нормальном виде придется запомнить все цифры в элементах массива и выводить в отдельном цикле.

С помощью рекурсии нетрудно добиться вывода в правильном порядке без массива и второго цикла. А именно:

Procedure BinaryRepresentation(x: integer); var c, x: integer; begin {Первый блок. Выполняется в порядке вызова процедур} c:= x mod 2; x:= x div 2; {Рекурсивный вызов} if x>0 then BinaryRepresentation(x); {Второй блок. Выполняется в обратном порядке} write(c); end;

Вообще говоря, никакого выигрыша мы не получили. Цифры двоичного представления хранятся в локальных переменных, которые свои для каждого работающего экземпляра рекурсивной процедуры. То есть, память сэкономить не удалось. Даже наоборот, тратим лишнюю память на хранение многих локальных переменных x. Тем не менее, такое решение кажется мне красивым.

4. Рекуррентные соотношения. Рекурсия и итерация

Говорят, что последовательность векторов задана рекуррентным соотношением, если задан начальный вектор и функциональная зависимость последующего вектора от предыдущего

Простым примером величины, вычисляемой с помощью рекуррентных соотношений, является факториал

Очередной факториал можно вычислить по предыдущему как:

Введя обозначение , получим соотношение:

Вектора из формулы (1) можно интерпретировать как наборы значений переменных. Тогда вычисление требуемого элемента последовательности будет состоять в повторяющемся обновлении их значений. В частности для факториала:

X:= 1; for i:= 2 to n do x:= x * i; writeln(x);

Каждое такое обновление (x:= x * i) называется итерацией , а процесс повторения итераций – итерированием .

Обратим, однако, внимание, что соотношение (1) является чисто рекурсивным определением последовательности и вычисление n-го элемента есть на самом деле многократное взятие функции f от самой себя:

В частности для факториала можно написать:

Function Factorial(n: integer): integer; begin if n > 1 then Factorial:= n * Factorial(n-1) else Factorial:= 1; end;

Следует понимать, что вызов функций влечет за собой некоторые дополнительные накладные расходы, поэтому первый вариант вычисления факториала будет несколько более быстрым. Вообще итерационные решения работают быстрее рекурсивных.

Прежде чем переходить к ситуациям, когда рекурсия полезна, обратим внимание еще на один пример, где ее использовать не следует.

Рассмотрим частный случай рекуррентных соотношений, когда следующее значение в последовательности зависит не от одного, а сразу от нескольких предыдущих значений. Примером может служить известная последовательность Фибоначчи, в которой каждый следующий элемент есть сумма двух предыдущих:

При «лобовом» подходе можно написать:

Function Fib(n: integer): integer; begin if n > 1 then Fib:= Fib(n-1) + Fib(n-2) else Fib:= 1; end;

Каждый вызов Fib создает сразу две копии себя, каждая из копий – еще две и т.д. Количество операций растет с номером n экспоненциально, хотя при итерационном решении достаточно линейного по n количества операций.

На самом деле, приведенный пример учит нас не КОГДА рекурсию не следует использовать, а тому КАК ее не следует использовать. В конце концов, если существует быстрое итерационное (на базе циклов) решение, то тот же цикл можно реализовать с помощью рекурсивной процедуры или функции. Например:

// x1, x2 – начальные условия (1, 1) // n – номер требуемого числа Фибоначчи function Fib(x1, x2, n: integer): integer; var x3: integer; begin if n > 1 then begin x3:= x2 + x1; x1:= x2; x2:= x3; Fib:= Fib(x1, x2, n-1); end else Fib:= x2; end;

И все же итерационные решения предпочтительны. Спрашивается, когда же в таком случае, следует пользоваться рекурсией?

Любые рекурсивные процедуры и функции, содержащие всего один рекурсивный вызов самих себя, легко заменяются итерационными циклами. Чтобы получить что-то, не имеющее простого нерекурсивного аналога, следует обратиться к процедурам и функциям, вызывающим себя два и более раз. В этом случае множество вызываемых процедур образует уже не цепочку, как на рис. 1, а целое дерево. Существуют широкие классы задач, когда вычислительный процесс должен быть организован именно таким образом. Как раз для них рекурсия будет наиболее простым и естественным способом решения.

5. Деревья

Теоретической базой для рекурсивных функций, вызывающих себя более одного раза, служит раздел дискретной математики, изучающий деревья.

5.1. Основные определения. Способы изображения деревьев

Определение: будем называть конечное множество T , состоящее из одного или более узлов, таких что:
а) Имеется один специальный узел, называемый корнем данного дерева.
б) Остальные узлы (исключая корень) содержатся в попарно непересекающихся подмножествах , каждое из которых в свою очередь является деревом. Деревья называются поддеревьями данного дерева.

Это определение является рекурсивным. Если коротко, то дерево это множество, состоящее из корня и присоединенных к нему поддеревьев, которые тоже являются деревьями. Дерево определяется через само себя. Однако данное определение осмысленно, так как рекурсия конечна. Каждое поддерево содержит меньше узлов, чем содержащее его дерево. В конце концов, мы приходим к поддеревьям, содержащим всего один узел, а это уже понятно, что такое.

Рис. 3. Дерево.

На рис. 3 показано дерево с семью узлами. Хотя обычные деревья растут снизу вверх, рисовать их принято наоборот. При рисовании схемы от руки такой способ, очевидно, удобнее. Из-за данной несогласованности иногда возникает путаница, когда говорят о том, что один из узлов находится над или под другим. По этой причине удобнее пользоваться терминологией, употребляемой при описании генеалогических деревьев, называя более близкие к корню узлы предками, а более далекие потомками.

Графически дерево можно изобразить и некоторыми другими способами. Некоторые из них представлены на рис. 4. Согласно определению дерево представляет собой систему вложенных множеств, где эти множества или не пересекаются или полностью содержатся одно в другом. Такие множества можно изобразить как области на плоскости (рис. 4а). На рис. 4б вложенные множества располагаются не на плоскости, а вытянуты в одну линию. Рис. 4б также можно рассматривать как схему некоторой алгебраической формулы, содержащей вложенные скобки. Рис. 4в дает еще один популярный способ изображения древовидной структуры в виде уступчатого списка.

Рис. 4. Другие способы изображения древовидных структур: (а) вложенные множества; (б) вложенные скобки; (в) уступчатый список.

Уступчатый список имеет очевидное сходство со способом форматирования программного кода. Действительно, программа, написанная в рамках парадигмы структурного программирования, может быть представлена как дерево, состоящее из вложенных друг в друга конструкций.

Также можно провести аналогию между уступчатым списком и внешним видом оглавлений в книгах, где разделы содержат подразделы, те в свою очередь поподразделы и т.д. Традиционный способ нумерации таких разделов (раздел 1, подразделы 1.1 и 1.2, подподраздел 1.1.2 и т.п.) называется десятичной системой Дьюи. В применении к дереву на рис. 3 и 4 эта система даст:

1. A; 1.1 B; 1.2 C; 1.2.1 D; 1.2.2 E; 1.2.3 F; 1.2.3.1 G;

5.2. Прохождение деревьев

Во всех алгоритмах, связанных с древовидными структурами неизменно встречается одна и та же идея, а именно идея прохождения или обхода дерева . Это – такой способ посещения узлов дерева, при котором каждый узел проходится точно один раз. При этом получается линейная расстановка узлов дерева. В частности существует три способа: можно проходить узлы в прямом, обратном и концевом порядке.

Алгоритм обхода в прямом порядке:

Попасть в корень,
Пройти все поддеревья слева на право в прямом порядке.

Данный алгоритм рекурсивен, так как прохождение дерева содержит прохождение поддеревьев, а они в свою очередь проходятся по тому же алгоритму.

В частности для дерева на рис. 3 и 4 прямой обход дает последовательность узлов: A, B, C, D, E, F, G.

Получающаяся последовательность соответствует последовательному слева направо перечислению узлов при представлении дерева с помощью вложенных скобок и в десятичной системе Дьюи, а также проходу сверху вниз при представлении в виде уступчатого списка.

При реализации этого алгоритма на языке программирования попадание в корень соответствует выполнение процедурой или функцией некоторых действий, а прохождение поддеревьев – рекурсивным вызовам самой себя. В частности для бинарного дерева (где из каждого узла исходит не более двух поддеревьев) соответствующая процедура будет выглядеть так:

// Preorder Traversal – английское название для прямого порядка procedure PreorderTraversal({Аргументы}); begin //Прохождение корня DoSomething({Аргументы}); //Прохождение левого поддерева if {Существует левое поддерево} then PreorderTransversal({Аргументы 2}); //Прохождение правого поддерева if {Существует правое поддерево} then PreorderTransversal({Аргументы 3}); end;

То есть сначала процедура производит все действия, а только затем происходят все рекурсивные вызовы.

Алгоритм обхода в обратном порядке:

Пройти левое поддерево,
Попасть в корень,
Пройти следующее за левым поддерево.
Попасть в корень,
и т.д пока не будет пройдено крайнее правое поддерево.

То есть проходятся все поддеревья слева на право, а возвращение в корень располагается между этими прохождениями. Для дерева на рис. 3 и 4 это дает последовательность узлов: B, A, D, C, E, G, F.

В соответствующей рекурсивной процедуре действия будут располагаться в промежутках между рекурсивными вызовами. В частности для бинарного дерева:

// Inorder Traversal – английское название для обратного порядка procedure InorderTraversal({Аргументы}); begin //Прохождение левого поддерева if {Существует левое поддерево} then InorderTraversal({Аргументы 2}); //Прохождение корня DoSomething({Аргументы}); //Прохождение правого поддерева if {Существует правое поддерево} then InorderTraversal({Аргументы 3}); end;

Алгоритм обхода в концевом порядке:

Пройти все поддеревья слева на право,
Попасть в корень.

Для дерева на рис. 3 и 4 это даст последовательность узлов: B, D, E, G, F, C, A.

В соответствующей рекурсивной процедуре действия будут располагаться после рекурсивных вызовов. В частности для бинарного дерева:

// Postorder Traversal – английское название для концевого порядка procedure PostorderTraversal({Аргументы}); begin //Прохождение левого поддерева if {Существует левое поддерево} then PostorderTraversal({Аргументы 2}); //Прохождение правого поддерева if {Существует правое поддерево} then PostorderTraversal({Аргументы 3}); //Прохождение корня DoSomething({Аргументы}); end;

5.3. Представление дерева в памяти компьютера

Если некоторая информация располагается в узлах дерева, то для ее хранения можно использовать соответствующую динамическую структуру данных. На Паскале это делается с помощью переменной типа запись (record), содержащей указатели на поддеревья того же типа. Например, бинарное дерево, где в каждом узле содержится целое число можно сохранить с помощью переменной типа PTree, который описан ниже:

Type PTree = ^TTree; TTree = record Inf: integer; LeftSubTree, RightSubTree: PTree; end;

Каждый узел имеет тип PTree. Это указатель, то есть каждый узел необходимо создавать, вызывая для него процедуру New. Если узел является концевым, то его полям LeftSubTree и RightSubTree присваивается значение nil . В противном случае узлы LeftSubTree и RightSubTree также создаются процедурой New.

Схематично одна такая запись изображена на рис. 5.

Рис. 5. Схематичное изображение записи типа TTree. Запись имеет три поля: Inf – некоторое число, LeftSubTree и RightSubTree – указатели на записи того же типа TTree.

Пример дерева, составленного из таких записей, показан на рисунке 6.

Рис. 6. Дерево, составленное из записей типа TTree. Каждая запись хранит число и два указателя, которые могут содержать либо nil , либо адреса других записей того же типа.

Если вы ранее не работали со структурами состоящими из записей, содержащих ссылки на записи того же типа, то рекомендуем ознакомиться с материалом о .

6. Примеры рекурсивных алгоритмов

6.1. Рисование дерева

Рассмотрим алгоритм рисования деревца, изображенного на рис. 6. Если каждую линию считать узлом, то данное изображение вполне удовлетворяет определению дерева, данному в предыдущем разделе.

Рис. 6. Деревце.

Рекурсивная процедура, очевидно должна рисовать одну линию (ствол до первого разветвления), а затем вызывать сама себя для рисования двух поддеревьев. Поддеревья отличаются от содержащего их дерева координатами начальной точки, углом поворота, длиной ствола и количеством содержащихся в них разветвлений (на одно меньше). Все эти отличия следует сделать параметрами рекурсивной процедуры.

Пример такой процедуры, написанный на Delphi, представлен ниже:

Procedure Tree(Canvas: TCanvas; //Canvas, на котором будет рисоваться дерево x,y: extended; //Координаты корня Angle: extended; //Угол, под которым растет дерево TrunkLength: extended; //Длина ствола n: integer //Количество разветвлений (сколько еще предстоит //рекурсивных вызовов)); var x2, y2: extended; //Конец ствола (точка разветвления) begin x2:= x + TrunkLength * cos(Angle); y2:= y - TrunkLength * sin(Angle); Canvas.MoveTo(round(x), round(y)); Canvas.LineTo(round(x2), round(y2)); if n > 1 then begin Tree(Canvas, x2, y2, Angle+Pi/4, 0.55*TrunkLength, n-1); Tree(Canvas, x2, y2, Angle-Pi/4, 0.55*TrunkLength, n-1); end; end;

Для получения рис. 6 эта процедура была вызвана со следующими параметрами:

Tree(Image1.Canvas, 175, 325, Pi/2, 120, 15);

Заметим, что рисование осуществляется до рекурсивных вызовов, то есть дерево рисуется в прямом порядке.

6.2. Ханойские башни

Согласно легенде в Великом храме города Бенарас, под собором, отмечающим середину мира, находится бронзовый диск, на котором укреплены 3 алмазных стержня, высотой в один локоть и толщиной с пчелу. Давным-давно, в самом начале времен монахи этого монастыря провинились перед богом Брамой. Разгневанный, Брама воздвиг три высоких стержня и на один из них поместил 64 диска из чистого золота, причем так, что каждый меньший диск лежит на большем. Как только все 64 диска будут переложены со стержня, на который Бог Брама сложил их при создании мира, на другой стержень, башня вместе с храмом обратятся в пыль и под громовые раскаты погибнет мир.
В процессе требуется, чтобы больший диск ни разу не оказывался над меньшим. Монахи в затруднении, в какой же последовательности стоит делать перекладывания? Требуется снабдить их софтом для расчета этой последовательности.

Независимо от Брамы данную головоломку в конце 19 века предложил французский математик Эдуард Люка. В продаваемом варианте обычно использовалось 7-8 дисков (рис. 7).

Рис. 7. Головоломка «Ханойские башни».

Предположим, что существует решение для n -1 диска. Тогда для перекладывания n дисков надо действовать следующим образом:

1) Перекладываем n -1 диск.
2) Перекладываем n -й диск на оставшийся свободным штырь.
3) Перекладываем стопку из n -1 диска, полученную в пункте (1) поверх n -го диска.

Поскольку для случая n = 1 алгоритм перекладывания очевиден, то по индукции с помощью выполнения действий (1) – (3) можем переложить произвольное количество дисков.

Создадим рекурсивную процедуру, печатающую всю последовательность перекладываний для заданного количества дисков. Такая процедура при каждом своем вызове должна печатать информацию об одном перекладывании (из пункта 2 алгоритма). Для перекладываний из пунктов (1) и (3) процедура вызовет сама себя с уменьшенным на единицу количеством дисков.

//n – количество дисков //a, b, c – номера штырьков. Перекладывание производится со штырька a, //на штырек b при вспомогательном штырьке c. procedure Hanoi(n, a, b, c: integer); begin if n > 1 then begin Hanoi(n-1, a, c, b); writeln(a, " -> ", b); Hanoi(n-1, c, b, a); end else writeln(a, " -> ", b); end;

Заметим, что множество рекурсивно вызванных процедур в данном случае образует дерево, проходимое в обратном порядке.

6.3. Синтаксический анализ арифметических выражений

Задача синтаксического анализа заключается в том, чтобы по имеющейся строке, содержащей арифметическое выражение, и известным значениям, входящих в нее переменных, вычислить значение выражения.

Процесс вычисления арифметических выражений можно представить в виде бинарного дерева. Действительно, каждый из арифметических операторов (+, –, *, /) требует двух операндов, которые также будут являться арифметическими выражениями и, соответственно могут рассматриваться как поддеревья. Рис. 8 показывает пример дерева, соответствующего выражению:

Рис. 8. Синтаксическое дерево, соответствующее арифметическому выражению (6).

В таком дереве концевыми узлами всегда будут переменные (здесь x ) или числовые константы, а все внутренние узлы будут содержать арифметические операторы. Чтобы выполнить оператор, надо сначала вычислить его операнды. Таким образом, дерево на рисунке следует обходить в концевом порядке. Соответствующая последовательность узлов

называется обратной польской записью арифметического выражения.

При построении синтаксического дерева следует обратить внимание на следующую особенность. Если есть, например, выражение

и операции сложения и вычитания мы будем считывать слева на право, то правильное синтаксическое дерево будет содержать минус вместо плюса (рис. 9а). По сути, это дерево соответствует выражению Облегчить составление дерева можно, если анализировать выражение (8) наоборот, справа налево. В этом случае получается дерево с рис. 9б, эквивалентное дереву 8а, но не требующее замены знаков.

Аналогично справа налево нужно анализировать выражения, содержащие операторы умножения и деления.

Рис. 9. Синтаксические деревья для выражения a – b + c при чтении слева направо (а) и справа налево (б).

Такой подход не избавляет нас от рекурсии полностью. Однако он позволяет ограничиться только одним обращением к рекурсивной процедуре, что может быть достаточно, если мотивом является забота о максимальной производительности.

7.3. Определение узла дерева по его номеру

Идея данного подхода в том, чтобы заменить рекурсивные вызовы простым циклом, который выполнится столько раз, сколько узлов в дереве, образованном рекурсивными процедурами. Что именно будет делаться на каждом шаге, следует определить по номеру шага. Сопоставить номер шага и необходимые действия – задача не тривиальная и в каждом случае ее придется решать отдельно.

Например, пусть требуется выполнить k вложенных циклов по n шагов в каждом:

For i1:= 0 to n-1 do for i2:= 0 to n-1 do for i3:= 0 to n-1 do …

Если k заранее неизвестно, то написать их явным образом, как показано выше невозможно. Используя прием, продемонстрированный в разделе 6.5 можно получить требуемое количество вложенных циклов с помощью рекурсивной процедуры:

Procedure NestedCycles(Indexes: array of integer; n, k, depth: integer); var i: integer; begin if depth

Чтобы избавиться от рекурсии и свести все к одному циклу, обратим внимание, что если нумеровать шаги в системе счисления с основанием n , то каждый шаг имеет номер, состоящий из цифр i1, i2, i3, … или соответствующих значений из массива Indexes. То есть цифры соответствуют значениям счетчиков циклов. Номер шага в обычной десятичной системе счисления:

Всего шагов будет n k . Перебрав их номера в десятичной системе счисления и переведя каждый из них в систему с основанием n , получим значения индексов:

M:= round(IntPower(n, k)); for i:= 0 to M-1 do begin Number:= i; for p:= 0 to k-1 do begin Indexes := Number mod n; Number:= Number div n; end; DoSomething(Indexes); end;

Еще раз отметим, что метод не универсален и под каждую задачу придется придумывать что-то свое.

Контрольные вопросы

1. Определите, что сделают приведенные ниже рекурсивные процедуры и функции.

(а) Что напечатает приведенная ниже процедура при вызове Rec(4)?

Procedure Rec(a: integer); begin writeln(a); if a>0 then Rec(a-1); writeln(a); end;

(б) Чему будет равно значение функции Nod(78, 26)?

Function Nod(a, b: integer): integer; begin if a > b then Nod:= Nod(a – b, b) else if b > a then Nod:= Nod(a, b – a) else Nod:= a; end;

(в) Что будет напечатано приведенными ниже процедурами при вызове A(1)?

Procedure A(n: integer); procedure B(n: integer); procedure A(n: integer); begin writeln(n); B(n-1); end; procedure B(n: integer); begin writeln(n); if n

(г) Что напечатает нижеприведенная процедура при вызове BT(0, 1, 3)?

Procedure BT(x: real; D, MaxD: integer); begin if D = MaxD then writeln(x) else begin BT(x – 1, D + 1, MaxD); BT(x + 1, D + 1, MaxD); end; end;

2. Уроборос – змей, пожирающий собственный хвост (рис. 14) в развернутом виде имеет длину L , диаметр около головы D , толщину брюшной стенки d . Определите, сколько хвоста он сможет в себя впихнуть и в сколько слоев после этого будет уложен хвост?

Рис. 14. Развернутый уроборос.

3. Для дерева на рис. 10а укажите последовательности посещения узлов при прямом, обратном и концевом порядке обхода.

4. Изобразите графически дерево, заданное с помощью вложенных скобок: (A(B(C, D), E), F, G).

5. Изобразите графически синтаксическое дерево для следующего арифметического выражения:

Запишите это выражение в обратной польской записи.

6. Для приведенного ниже графа (рис. 15) запишите матрицу смежности и матрицу инцидентности.

Задачи

1. Вычислив факториал достаточно большое количество раз (миллион или больше), сравните эффективность рекурсивного и итерационного алгоритмов. Во сколько раз будет отличаться время выполнения и как это отношение будет зависеть от числа, факториал которого рассчитывается?

2. Напишите рекурсивную функцию, проверяющую правильность расстановки скобок в строке. При правильной расстановке выполняются условия:

(а) количество открывающих и закрывающих скобок равно.
(б) внутри любой пары открывающая – соответствующая закрывающая скобка, скобки расставлены правильно.

Примеры неправильной расстановки:)(, ())(, ())(() и т.п.

3. В строке могут присутствовать скобки как круглые, так и квадратные скобки. Каждой открывающей скобке соответствует закрывающая того же типа (круглой – круглая, квадратной- квадратная). Напишите рекурсивную функцию, проверяющую правильность расстановки скобок в этом случае.

Пример неправильной расстановки: ([) ].

4. Число правильных скобочных структур длины 6 равно 5: ()()(), (())(), ()(()), ((())), (()()).
Напишите рекурсивную программу генерации всех правильных скобочных структур длины 2n .

Указание : Правильная скобочная структура минимальной длины «()». Структуры большей длины получаются из структур меньшей длины, двумя способами:

(а) если меньшую структуру взять в скобки,
(б) если две меньших структуры записать последовательно.

5. Создайте процедуру, печатающую все возможные перестановки для целых чисел от 1 до N.

6. Создайте процедуру, печатающую все подмножества множества {1, 2, …, N}.

7. Создайте процедуру, печатающую все возможные представления натурального числа N в виде суммы других натуральных чисел.

8. Создайте функцию, подсчитывающую сумму элементов массива по следующему алгоритму: массив делится пополам, подсчитываются и складываются суммы элементов в каждой половине. Сумма элементов в половине массива подсчитывается по тому же алгоритму, то есть снова путем деления пополам. Деления происходят, пока в получившихся кусках массива не окажется по одному элементу и вычисление суммы, соответственно, не станет тривиальным.

Замечание : Данный алгоритм является альтернативой . В случае вещественнозначных массивов он, обычно, позволяет получать меньшие погрешности округления.

10. Создайте процедуру, рисующую кривую Коха (рис. 12).

11. Воспроизведите рис. 16. На рисунке на каждой следующей итерации окружности в 2.5 раза меньше (этот коэффициент можно сделать параметром).

Литература

1. Д. Кнут. Искусство программирования на ЭВМ. т. 1. (раздел 2.3. «Деревья»).
2. Н. Вирт. Алгоритмы и структуры данных.